iPhone用、Twitter公式アプリ「Twitter for iPhone」のプッシュ通知を設定しました。プッシュ通知の設定をすると、メール・チャット感覚でツイッターを使いこなすことができます。

「アカウント」→「設定」→「Notification」からプッシュ通知の変更できます。









デフォルトでは「From People Follow You」となっています。



僕は自分のフォローしていない人からのリプライ、RTにも反応したいので、「From Anyone」に変更しました。

公式アプリでもプッシュ通知に対応しましたが、これだと「Twitter for iPhone」でしか対応できません。プッシュ通知は、Twitter公式アプリ以外ともプッシュ通知の連携ができる「Boxcar」の方を使うことをオススメします。
・参考：Boxcar 2.0はiPhoneに必須だ―プッシュ通知機能を生かした最高のアプリ